Question

設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：“①方程有實(shí)數(shù)根；②函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足.”

（1）判斷函數(shù)是否是集合M中的元素，并說明理由；

（2）集合M中的元素具有下面的性質(zhì)：若的定義域?yàn)?i>D，則對(duì)于任意，都存在，使得等式成立”，試用這一性質(zhì)證明：方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；

（3）設(shè)是方程的實(shí)數(shù)根，求證：對(duì)于定義域中任意的，當(dāng)，且時(shí)，.

Answer 1

1）函數(shù)是集合M中的元素. （2）同解析（3）同解析

解析:

1）因?yàn)?img width=112 height=36 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/101/28901.gif">，所以滿足條件，

又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以方程有實(shí)數(shù)根0.

所以函數(shù)是集合M中的元素.

（2）假設(shè)方程存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根），則，

不妨設(shè)，根據(jù)題意存在數(shù)，

使得等式成立，

因?yàn)?img width=57 height=20 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/114/28914.gif">，，且，所以，

與已知矛盾，所以方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；

（3）不妨設(shè)，因?yàn)?img width=60 height=20 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/121/28921.gif">所以為增函數(shù)，所以，

又因?yàn)?img width=75 height=20 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/124/28924.gif">，所以函數(shù)為減函數(shù)，

所以，

所以，即，

所以

.