Question

【題目】已知定義在上的函數(shù)滿足以下三個(gè)條件：

①對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有；

②；

③在區(qū)間上為增函數(shù)．

（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并加以證明；

（2）求證：；

（3）解不等式．

Answer 1

【答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）通過(guò)賦值，令，求，再賦值，求得函數(shù)是奇函數(shù)；

（2）同樣是賦值令，，再賦值證明；

（3）根據(jù)奇函數(shù)和周期性可得函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，并且在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，再利用賦值，可得，再利用函數(shù)性質(zhì)解不等式.

（1）令 ，

，

， ，

令 ，代入得 ，

，

，，

函數(shù)是奇函數(shù).

（2）令 ，

，

，，

，

.

（3）因?yàn)楹瘮?shù)是上奇函數(shù)，所以滿足，

又 ，

，函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，

因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，并且是奇函數(shù)，

在上也是單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減，

令 ，代入可得，

函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，，

，

解得： 或 ，

在單調(diào)遞增，且 ，（舍）

，

當(dāng) 時(shí)， ，

又是周期為4的函數(shù)，

不等式的解集是.