Question

【題目】已知函數(shù)，其導函數(shù)為．

（1）當時，若函數(shù)在上有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍；

（2）當時，若，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）或（2）

【解析】

（1）采用分離參數(shù)法得到，分析函數(shù)的單調(diào)性以及取值情況，即可計算出有且僅有一個零點時的取值范圍；

（2）化簡不等式得到，對其中的與的關系作分類討論，得到滿足的不等關系，從而確定出滿足的關于的不等關系，構造新函數(shù)利用導數(shù)分析并求解出最大值.

解：（1）當時，，

由題意得，即，

令，則，解得，

當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，

，

當時，，當時，，

則或時，在上有且只有一個零點．

（2）由已知條件得．①

(i)若，則對任意常數(shù)，當，且時，可得，因此①式不成立．

(ii)若，則．

(iii)若，設，則．

當時，;當時，．

從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

故有最小值．

所以原不等式等價于．②

因此．

設，則．

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得最大值．

從而，即，

當時，②式成立，故當時，．

綜上可知，的最大值為．