Question

【題目】斜率為的直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，且與拋物線(xiàn)交于、兩點(diǎn).

（1）設(shè)點(diǎn)在第一象限，過(guò)作拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，為垂足，且，直線(xiàn)與直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，求直線(xiàn)的方程；

（2）過(guò)且與垂直的直線(xiàn)與圓交于、兩點(diǎn)，若與面積之和為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設(shè)拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，利用拋物線(xiàn)的定義得出，求出點(diǎn)的坐標(biāo)與直線(xiàn)的斜率，即可得出直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率互為相反數(shù)，進(jìn)而可求得直線(xiàn)的方程；

（2）將直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算出，求得直線(xiàn)的方程，計(jì)算出圓心到直線(xiàn)的距離，進(jìn)而計(jì)算出，利用三角形的面積公式結(jié)合題中條件可求得的值.

（1）設(shè)拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義得，則.

，，，

，，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線(xiàn)的斜率為.

直線(xiàn)與直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)的方程為，即；

（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，與聯(lián)立得，

令，，則，，

.

，直線(xiàn)的方程為，即，

圓心到直線(xiàn)的距離為，

圓的半徑為，，

與面積之和為，

直線(xiàn)與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，且，

令，則，由，解得或（舍去），，得.