Question

選修4一1：幾何證明選講
如圖，C是以AB為直徑的半圓O上的一點，過C的直線交直線AB于E，交過A點的切線于D，BC∥OD．
（Ⅰ）求證：DE是圓O的切線；
（Ⅱ）如果AD=AB=2，求EB．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證DE是圓O的切線，連接AC，只需證出∠DAO=90°，由BC∥OD⇒OD⊥AC，則OD是AC的中垂線．通過△AOC，△BOC均為等腰三角形，即可證得∠DAO=90°．
（Ⅱ）由 BC∥OD⇒∠CBA=∠DOA，結合∠BCA=∠DAO，得出△ABC∽△AOD，利用比例線段求出EB．

解答：（Ⅰ）證：連接AC，AB是直徑，則BC⊥AC
由BC∥OD⇒OD⊥AC

則OD是AC的中垂線⇒∠OCA=∠OAC，∠DCA=∠DAC，
⇒∠OCD=∠OCA+∠DCA=∠OAC+∠DAC=∠DAO=90°．
⇒OC⊥DE，所以DE是圓O的切線．
（Ⅱ） BC∥OD⇒∠CBA=∠DOA，∠BCA=∠DAO⇒△ABC∽△AOD
⇒

BC

OA

=

AB

OD

⇒BC=

OA•AB

OD

=

1×2

5

=

2 5

5

⇒

BC

OD

=

2

5

⇒

BE

OE

=

2

5

⇒

BE

OB

=

2

3

⇒BE=

2

3

點評：本題考查圓的切線的證明，與圓有關的比例線段．準確掌握與圓有關的線、角的性質是解決此類問題的基礎和關鍵．