Question

設(shè)f（x）在x₀可導(dǎo)，則

lim

x→0

f(x0+x)-f(x0-3x)

x

等于（　�。�

A．2f'（x₀）

B．f'（x₀）

C．3f'（x₀）

D．4f'（x₀）

Answer 1

分析：由函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)的定義可得 f′（x₀）=

lim

x→0

f(x0+x)-f(x0)

x

，而要求的式子可化為

lim

x→0

f(x0+x)-f(x0)

x

+3

lim

x→0

f(x0-3x)-f(x0)

-3x

，由此得出結(jié)論．

解答：解：∵f（x）在x₀可導(dǎo)，∴f′（x₀）=

lim

x→0

f(x0+x)-f(x0)

x

．
∴

lim

x→0

f(x0+x)-f(x0-3x)

x

=

lim

x→0

f(x0+x)-f(x0)+f(x0)-f(x0-3)

x

=

lim

x→0

f(x0+x)-f(x0)

x

+

lim

x→0

f(x0-3x)-f(x0)

-x

 
=f′（x₀）+3

lim

x→0

f(x0-3x)-f(x0)

-3x

 
=f′（x₀）+3f′（x₀）=4f′（x₀），
故選D．

點評：本題考查極限及其運算，求解的關(guān)鍵有二，一是熟練掌握導(dǎo)數(shù)的定義，二是導(dǎo)數(shù)極限定義式的格式記憶準(zhǔn)確，如此才能想到改變分子上兩個函數(shù)式的順序得出正確答案．此也是本題的一個易錯點，極易出錯，解決的辦法就是對定義掌握準(zhǔn)確，屬于基礎(chǔ)題．