Question

已知一直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且與曲線(xiàn)y=x³-3x²+2x相切，試求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)切點(diǎn)為（x，y），則y=x³-3x²+2x，由于直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，故等式的兩邊同除以x即得切線(xiàn)的斜率，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線(xiàn)在點(diǎn)x處的切線(xiàn)斜率，便可建立關(guān)于x的方程．在兩邊同除以x時(shí)，要注意對(duì)x是否為0進(jìn)行討論．
解答：解：設(shè)直線(xiàn)l：y=kx．∵y′=3x²-6x+2，∴y′|_x=0=2，
又∵直線(xiàn)與曲線(xiàn)均過(guò)原點(diǎn)，于是直線(xiàn)y=kx與曲線(xiàn)y=x³-3x²+2相切于原點(diǎn)時(shí)，k=2．
若直線(xiàn)與曲線(xiàn)切于點(diǎn)（x，y）（x≠0），則k=，∵y=x³-3x²+2x，
∴=x²-3x+2，
又∵k=y′|=3x²-6x+2，
∴x²-3x+2=3x²-6x+2，∴2x²-3x=0，
∵x≠0，∴x=，∴k=x²-3x+2=-，
故直線(xiàn)l的方程為y=2x或y=-x．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，以及直線(xiàn)方程和切線(xiàn)問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．