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已知函數(shù)的定義域為，若在上為增函數(shù)，則稱 為“一階比增函數(shù)”.

(Ⅰ) 若是“一階比增函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；

(Ⅱ) 若是“一階比增函數(shù)”，求證：，；

（Ⅲ）若是“一階比增函數(shù)”，且有零點，求證：有解.

 

【答案】

(Ⅰ)  (Ⅱ)本小題關(guān)鍵是先得到，

（Ⅲ）本小題要結(jié)合(Ⅱ)的結(jié)論來證明。

【解析】

試題分析：解：（I）由題在是增函數(shù)，

由一次函數(shù)性質(zhì)知

當時，在上是增函數(shù)，

所以 

（Ⅱ）因為是“一階比增函數(shù)”，即在上是增函數(shù)，

又，有，

所以，                 

所以，

所以   

所以                              

（Ⅲ）設(shè)，其中.

因為是“一階比增函數(shù)”，所以當時，

取，滿足，記

由（Ⅱ）知，同理，

所以一定存在，使得，

所以一定有解                             

考點：函數(shù)的單調(diào)性

點評：證明函數(shù)在區(qū)間上為增（減）函數(shù)的方法是：令，若

（），則函數(shù)為增（減）函數(shù)。

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)的定義域為（0，+∞），且單調(diào)遞增，滿足f（4）=1，f（xy）=f（x）+f（y）．
（Ⅰ）證明：f（1）=0；
（Ⅱ）若f（x）+f（x-3）≤1，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)的定義域為R，對任意的x1，x2都滿足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），當x＞0時，f（x）＞0．
（I）試判斷并證明f（x）的奇偶性；
（II）試判斷并證明f（x）的單調(diào)性；
（III）若f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)＞0對所有的θ∈[0，
π2
]均成立，求實數(shù)m 的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年浙江省杭州市七校高三上學期期中聯(lián)考理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)的定義域為，

（1）求；

（2）若，且是的真子集，求實數(shù)的取值范圍.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆遼寧朝陽高二下學期期中考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)的定義域為,部分對應(yīng)值如下表。的導函數(shù)的圖像如圖所示。

0

下列關(guān)于函數(shù)的命題：

①函數(shù)在上是減函數(shù)；②如果當時，最大值是，那么的最大值為；③函數(shù)有個零點，則；④已知是的一個單調(diào)遞減區(qū)間，則的最大值為。

其中真命題的個數(shù)是（           ）

A、4個    B、3個  C、2個  D、1個

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年海南省�？谑懈呷呖颊{(diào)研考試理科數(shù)學 題型：選擇題

已知函數(shù)的定義域為，且，為的導函數(shù)，函數(shù)的圖象如圖所示.若正數(shù),滿足,則的取值范圍是

    A．    B．  C．    D．

 

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