Question

【題目】橢圓C： + =1（a＞b＞0）的離心率為 ，過左焦點(diǎn)任作直線l，交橢圓的上半部分于點(diǎn)M，當(dāng)l的斜率為 時，|FM|= ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）橢圓C上兩點(diǎn)A，B關(guān)于直線l對稱，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：依題意∴ ），∴ ，

又∵ ，解得a2=3，b2=2．

∴橢圓C的方程為： ．

（2）

解：依題意直線l不垂直x軸，

當(dāng)直線l的斜率k≠0時，可設(shè)直線l的方程為：y=k（x+1）（k≠0）

則直線AB的方程為：y=﹣ ．

聯(lián)立 ，得 ．

， …①．

設(shè)AB的中點(diǎn)為C，則xC= ．

點(diǎn)C在直線l上，∴ ，m=﹣2k﹣ …②

此時 與①矛盾，故k≠0時不成立．

當(dāng)直線l的斜率k=0時，A（x0，y0），B（x0，﹣y0） （x0＞0，y0＞0）

△AOB面積s= ．

∵ ，∴ ．．

∴△AOB面積的最大值為 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號．

【解析】（1）根據(jù)離心率及弦長構(gòu)造方程組，求得a，b． （2）當(dāng)直線l的斜率k≠0時，可設(shè)直線l的方程為：y=k（x+1）（k≠0）
聯(lián)立直線與橢圓方程，由△＞0得到k，m的關(guān)系式，再由對稱性求得k，m的關(guān)系式，此時k不存在．
當(dāng)直線l的斜率k=0時，A（x0 ， y0），B（x0 ， ﹣y0） （x0＞0，y0＞0）△AOB面積s= ．
由均值不等式求解．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．