Question

已知函數(shù)f(x)=2cos2x+cos(2x+

π

3

)-1．
（I）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）若銳角α滿足f（α）=-

3

2

，求角α的值．

Answer 1

分析：（I）利用三角函數(shù)的二倍角公式及和角公式將f（x）化簡為-

3

sin(2x-

π

3

)，利用三角函數(shù)的周期公式求出周期；令2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，求出x的范圍，寫出區(qū)間即得到單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）將（I）中的f（x）代入f（α）=-

3

2

，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出角．

解答：解：（I）因為函數(shù)f(x)=2cos2x+cos(2x+

π

3

)-1
=cos2x+

1

2

cos2x-

3

2

sin2x
=

3

2

cos2x-

3

2

sin2x
=-

3

sin(2x-

π

3

)
所以f（x）的最小正周期為

2π

2

=π，
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，
解得-

7π

12

+kπ≤x≤-

π

12

+kπ
其遞增區(qū)間是[-

7π

12

+kπ，-

π

12

+kπ](k∈Z)
（II）由（I）知，
f(α)=-

3

sin(2α-

π

3

)=-

3

2

所以  sin(2α-

π

3

)=-

3

2

  
又因為α是銳角，
所以-

π

3

＜2α-

π

3

＜

2π

3

，
所以2α-

π

3

=

π

3

，
所以α=

π

3

．

點評：解決三角函數(shù)的性質問題，應該先根據(jù)三角函數(shù)的有關公式將三角函數(shù)化為只含一個角一個函數(shù)的形式，然后利用整體角處理的思想來解決，屬于中檔題．