Question

17．已知四棱錐V-ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，VA⊥平面ABCD，且VA=4，則此四棱錐的側面中，所有直角三角形的面積的和是8+4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由線面垂直的判定與性質，可證出△VAB、△VAD、△VBC、△VCD都是直角三角形．由VA=4且AB=AD=2，根據(jù)勾股定理算出VB=VD=2$\sqrt{5}$，最后利用直角三角形的面積公式即可算出所有直角三角形的面積的和

解答 解：∵VA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴VA⊥BC
∵底面ABCD是正方形，可得BC⊥AB，VA∩AB=A，
∴BC⊥平面VAB，結合VB?平面VAB，得BC⊥VB
同理可得CD⊥VD，
∵VA⊥平面ABCD，AB、AD?平面ABCD，
∴VA⊥AB且VA⊥AD
綜上所述，四棱錐的四個側面都是直角三角形，
∵VA=4，AB=AD=2，∴VB=VD=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
由此可得，所有直角三角形的面積的和為
S=2×$\frac{1}{2}$×2×4+2×$\frac{1}{2}$×2×$2\sqrt{5}$=8+4$\sqrt{5}$．
故答案為：8+4$\sqrt{5}$．

點評 本題給出底面為正方形且一條側棱與底面垂直的四棱錐，求它的側面所有直角三角形面積之和，著重考查了線面垂直的判定與性質、勾股定理與直角三角形的面積公式等知識，屬于基礎題．