Question

15．設(shè)復(fù)數(shù)$z=\frac{{{{（{1+i}）}^2}+3（{1-i}）}}{2+i}$，若z²+az+b=1+i，
（1）寫出z的實(shí)部、虛部；   
（2）求實(shí)數(shù)a，b的值．

Answer 1

分析 （1）化簡復(fù)數(shù)為a+bi的形式，得到復(fù)數(shù)z的實(shí)部、虛部．
（2）利用復(fù)數(shù)相等求出a、b，

解答 解：（1）復(fù)數(shù)$z=\frac{{{{（{1+i}）}^2}+3（{1-i}）}}{2+i}$=$\frac{3-i}{2+i}$=$\frac{（3-i）（2-i）}{（2+i）（2-i）}$=$\frac{5-5i}{5}$=1-i，
則z的實(shí)部為1、虛部為-1；   
（2）z²+az+b=1+i，可得（1-i）²+a（1-i）+b=1+i，
即：a+b+（-2-a）i=1+i
即：$\left\{\begin{array}{l}a+b=1\\-2-a=1\end{array}\right.$，
實(shí)數(shù)a=-3，b=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運(yùn)算，復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)相等的充要條件的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．