Question

設函數f（x）=axⁿ（1-x）+b（x＞0），n為正整數，a，b為常數，曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為x+y=1。
（1）求a，b的值；
（2）求函數f（x）的最大值；
（3）證明：f（x）＜。

Answer 1

解：（1）因為f（1）=b，由點（1，b）在x+y=1上，可得1+b=1，即b=0
因為f′（x）=anx^n-1-a（n+1）xⁿ，所以f′（1）=-a．
又因為切線x+y=1的斜率為-1，
所以-a=-1，即a=1，
故a=1，b=0 。
（2）由（1）知，f（x）=xⁿ（1-x），則有f′（x）=（n+1）x^n-1（-x），
令f′（x）=0，解得x=在（0，）上，導數為正，
故函數f（x）是增函數；在（，+∞）上導數為負，故函數f（x）是減函數；
故函數f（x）在（0，+∞）上的最大值為f（）=（）ⁿ（1-）=。
（3）令φ（t）=lnt-1+，則φ′（t）=-=（t＞0）
在（0，1）上，φ′（t）＜0，故φ（t）單調減；
在（1，+∞），φ′（t）＞0，故φ（t）單調增；
故φ（t）在（0，∞）上的最小值為φ（1）=0，
所以φ（t）＞0（t＞1）
則lnt＞1-，（t＞1），
令t=1+，得ln（1+）＞，
即ln（1+）n+1＞lne
所以（1+）n+1＞e，
即＜
由（2）知，f（x）≤＜，
故所證不等式成立。