Question

9．如圖，已知點(diǎn)C是以AB為直徑的半圓O上一點(diǎn)，過(guò)C的直線(xiàn)交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，交過(guò)點(diǎn)A的圓O的切線(xiàn)于點(diǎn)D，BC∥OD，AD=AB=2．
（Ⅰ）求證：直線(xiàn)DC是圓O的切線(xiàn)；
（Ⅱ）求線(xiàn)段EB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）要證DE是圓O的切線(xiàn)，連接AC，只需證出∠DAO=90°，由BC∥OD⇒OD⊥AC，則OD是AC的中垂線(xiàn)．通過(guò)△AOC，△BOC均為等腰三角形，即可證得∠DAO=90°．
（Ⅱ）由 BC∥OD⇒∠CBA=∠DOA，結(jié)合∠BCA=∠DAO，得出△ABC∽△AOD，利用比例線(xiàn)段求出EB．

解答 （Ⅰ）證明：連接AC，AB是直徑，則BC⊥AC，
由BC∥OD⇒OD⊥AC，
則OD是AC的中垂線(xiàn)⇒∠OCA=∠OAC，∠DCA=∠DAC，
⇒∠OCD=∠OCA+∠DCA=∠OAC+∠DAC=∠DAO=90°．
⇒OC⊥DE，所以DE是圓O的切線(xiàn)．
（Ⅱ）解：BC∥OD⇒∠CBA=∠DOA，∠BCA=∠DAO⇒△ABC∽△AOD
⇒$\frac{BC}{OA}=\frac{AB}{OD}$⇒BC=$\frac{OA•AB}{OD}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$⇒$\frac{BC}{OD}$=$\frac{2}{5}$⇒$\frac{BE}{OE}$=$\frac{2}{5}$⇒$\frac{BE}{OB}$=$\frac{2}{3}$⇒BE=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線(xiàn)的證明，與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段．準(zhǔn)確掌握與圓有關(guān)的線(xiàn)、角的性質(zhì)是解決此類(lèi)問(wèn)題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵．