Question

【題目】如圖，某城市有一塊半徑為（單位：百米）的圓形景觀，圓心為，有兩條與圓形景觀相切且互相垂直的道路.最初規(guī)劃在拐角處圖中陰影部分只有一塊綠化地，后來有眾多市民建議在綠化地上建一條小路，便于市民快捷地往返兩條道路.規(guī)劃部門采納了此建議，決定在綠化地中增建一條與圓相切的小道問：兩點(diǎn)應(yīng)選在何處可使得小道最短？

Answer 1

【答案】當(dāng)兩點(diǎn)離道路的交點(diǎn)都為（百米）時(shí)，小道最短

【解析】

分別由兩條道路所在直線建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，，求得直線的方程和圓的方程，運(yùn)用直線和圓相切的條件：，求得的關(guān)系，再由兩點(diǎn)的距離公式和基本不等式，解不等式可得的最小值，以及此時(shí)的位置.

解：如圖，分別由兩條道路所在直線建立直角坐標(biāo)系xOy.

設(shè)，，

則直線方程為，即.

因?yàn)?/span>與圓相切，所以

化簡(jiǎn)得，即

因此

因?yàn)?/span>，，所以

于是

又

解得，或

因?yàn)?/span>，所以

所以

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)

所以最小值為，此時(shí)

答：當(dāng)兩點(diǎn)離道路的交點(diǎn)都為（百米）時(shí)，小道最短