Question

16．設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）為不同的兩點(diǎn)，圓C：x²+y²+Dx+Ey+F=0．
δ=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}+D{x}_{1}+E{y}_{1}+F}{{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}+D{x}_{2}+E{y}_{2}+F}$．
以下命題中正確的序號(hào)為（1）（2）（3）（4）．
（1）不論δ為何值，點(diǎn)N都不在圓C上；
（2）若δ=1，則M、N在的同心圓上；
（3）若δ=-1，則線段MN與圓C相交，且MN的中點(diǎn)也在圓C上；
（4）若δ＞1，則線段MN的延長(zhǎng)線與圓C相交．

Answer 1

分析 根據(jù)已知中圓C：x²+y²+Dx+Ey+F=0．δ=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}+D{x}_{1}+E{y}_{1}+F}{{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}+D{x}_{2}+E{y}_{2}+F}$．逐一分析四個(gè)結(jié)論的真假，可得答案．

解答 解：若N點(diǎn)在圓C上，則${{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}+D{x}_{2}+E{y}_{2}+F$=0，此時(shí)δ=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}+D{x}_{1}+E{y}_{1}+F}{{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}+D{x}_{2}+E{y}_{2}+F}$無(wú)意義，故（1）不論δ為何值，點(diǎn)N都不在圓C上，正確；
（2）若δ=1，則M、N到圓心的距離相等，但不同在圓上，故MN在C的同心圓上，故正確；
（3）若δ=-1，則M、N一個(gè)在圓內(nèi)一個(gè)在圓外，則線段MN與圓C相交，且MN的中點(diǎn)也在圓C上，故正確；
（4）若δ＞1，M、N在圓內(nèi)，此時(shí)M點(diǎn)距離圓心更近，則線段MN的延長(zhǎng)線與圓C相交，或M、N在圓內(nèi)，此時(shí)N點(diǎn)距離圓心更近，則線段MN的延長(zhǎng)線與圓C相交，故正確，
故答案為：（1）（2）（3）（4）

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了平面上點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，難度中檔．