Question

【題目】某單位擬建一個扇環(huán)面形狀的花壇(如圖所示)，該扇環(huán)面是由以點為圓心的兩個同心圓弧和延長后通過點的兩條直線段圍成．按設(shè)計要求扇環(huán)面的周長為30米，其中大圓弧所在圓的半徑為10米.設(shè)小圓弧所在圓的半徑為米，圓心角為（弧度）．

（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（2）已知在花壇的邊緣(實線部分)進行裝飾時，直線部分的裝飾費用為4元/米，弧線部分的裝飾費用為9元/米．設(shè)花壇的面積與裝飾總費用的比為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出為何值時， 取得最大值？

Answer 1

【答案】（1）（2），

【解析】試題分析：（1）根據(jù)已知條件，將周長米為等量關(guān)系可以建立滿足的關(guān)系式，再由此關(guān)系式進一步得到函數(shù)解析式：，即可解得；（2）根據(jù)題意及（1）可得花壇的面積為，裝飾總費用為

，因此可得函數(shù)解析式，而要求的最大值，即求函數(shù)的最大值，可以考慮采用換元法令，從而，再利用基本不等式，即可求得的最大值： ，當(dāng)且僅當(dāng)， 時取等號，此時，，因此當(dāng)時，花壇的面積與裝飾總費用的比最大.

試題解析：（1）扇環(huán)的圓心角為，則，∴， 3分

（2）由（1）可得花壇的面積為， 6分

裝飾總費用為， 8分

∴花壇的面積與裝飾總費用的， 10分

令，則，當(dāng)且僅當(dāng)， 時取等號，此時，， 12分

答：當(dāng)時，花壇的面積與裝飾總費用的比最大． 13分