Question

11．如圖，半徑為1，圓心角為$\frac{3π}{2}$的圓弧$\widehat{AB}$上有一點C．
（1）若C為圓弧AB的中點，點D在線段OA上運動，求|$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$|的最小值；
（2）若D，E分別為線段OA，OB的中點，當C在圓弧$\widehat{AB}$上運動時，求$\overrightarrow{CE}$•$\overrightarrow{CD}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）以O為原點，以OA為x軸正方向，建立圖示坐標系，設D（t，0）（0≤t≤1），求出C坐標，推出$\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=（t-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，然后求出模的最小值．
（2）設C（cosθ，sinθ），$θ∈[0，\frac{3}{2}π]$，求出$\overrightarrow{CE}$•$\overrightarrow{CD}$的表達式，即可求出$\overrightarrow{CE}$•$\overrightarrow{CD}$的取值范圍．

解答 解：（1）以O為原點，OA為x軸建立直角坐標系，則$A（1，0），B（0，-1），C（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$
設D（t，0）（0≤t≤1），則$\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=（t-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，
所以$|\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}|=\sqrt{{{（t-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）}^2}+{{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）}^2}}$，
當$t=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$時，$|\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}{|_{min}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（2）由題意$D（\frac{1}{2}，0），E（0，-\frac{1}{2}）$，設C（cosθ，sinθ），$θ∈[0，\frac{3}{2}π]$
所以$\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{CD}=（cosθ-\frac{1}{2}，sinθ）（cosθ，sinθ+\frac{1}{2}）=1+\frac{1}{2}sinθ-\frac{1}{2}cosθ$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（θ-\frac{π}{4}）+1$．
因為$θ∈[0，\frac{3}{2}π]$，則$sin（θ-\frac{π}{4}）∈[-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$，所以$\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{CD}∈[\frac{1}{2}，1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$．

點評 本題考查向量的數(shù)量積，向量的表示方法，三角運算，考查轉(zhuǎn)化思想，計算能力．