Question

11．已知f（x）=lg$\frac{2x}{ax+b}$，且f（1）=0，對(duì)任意的x＞0時(shí)，恒有f（x）-f（$\frac{1}{x}$）=lgx．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判斷并用定義域證明f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)x＞0時(shí)，恒有f（x）-f（$\frac{1}{x}$）=lgx，可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a，b方程組，解方程組求出a，b值，進(jìn)而求出函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)單調(diào)性的定義證明即可．

解答 解：（1）∵當(dāng)x＞0時(shí)，有f（x）-f（$\frac{1}{x}$）=lgx恒成立，
∴l(xiāng)g $\frac{2x}{ax+b}$-lg $\frac{\frac{2}{x}}{\frac{a}{x}+b}$=lgx，
即lg $\frac{2x}{ax+b}$-lg $\frac{2}{a+bx}$=lgx，
即lg（ $\frac{2x}{ax+b}$•$\frac{a+bx}{2}$）=lgx，$\frac{（a+bx）x}{ax+b}$=x．
整理得（a-b）x²-（a-b）x=0恒成立，
∴a=b，
又f（1）=0，
即a+b=2，從而a=b=1，
∴f（x）=lg$\frac{2x}{x+1}$；
（2）由（1）得：$\frac{2x}{x+1}$＞0，解得：x＞0或x＜-1，
∴函數(shù)的定義域是（-∞，-1）∪（0，+∞），
設(shè)x₁＞x₂＞0，
則f（x₁）-f（x₂）
=lg$\frac{{2x}_{1}}{{x}_{1}+1}$-lg$\frac{{2x}_{2}}{{x}_{2}+1}$
=lg$\frac{1+\frac{1}{{x}_{2}}}{1+\frac{1}{{x}_{1}}}$，
∵x₁＞x₂＞0，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+1＜$\frac{1}{{x}_{2}}$+1，
∴l(xiāng)g$\frac{1+\frac{1}{{x}_{2}}}{1+\frac{1}{{x}_{1}}}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）遞增，
同理可證f（x）在（-∞，-1）遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算，求函數(shù)的解析式問(wèn)題，函數(shù)單調(diào)性定義的應(yīng)用，根據(jù)條件建立方程組是解決本題的關(guān)鍵．