Question

如圖，某自來水公司要在公路兩側(cè)鋪設(shè)水管，公路為東西方向，在路北側(cè)沿直線鋪設(shè)線路l₁，在路南側(cè)沿直線鋪設(shè)線路l₂，現(xiàn)要在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)沿直線將l₁與l₂接通．已知AB = 60m，BC = 80m，公路兩側(cè)鋪設(shè)水管的費用為每米1萬元，穿過公路的EF部分鋪設(shè)水管的費用為每米2萬元，設(shè)∠EFB= α,矩形區(qū)域內(nèi)的鋪設(shè)水管的總費用為W．

（1）求W關(guān)于α的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求W的最小值及相應(yīng)的角α．

 

Answer 1

【答案】

（1）=80+ 60tanα;（2）,.

【解析】

試題分析：（1）過E作，垂足為M，由題意得∠MEF=α, 故有，，,化簡即可；（2），利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值和相應(yīng)的角度即可.

試題解析：（1）如圖，過E作，垂足為M，由題意得∠MEF=α，

故有，，，      3分

所以

=80+ 60tanα（其中       8分

（2）W

．

設(shè)，

則．         11分

令得，即，得．

列表

	+	0
	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

所以當(dāng)時有，此時有．          14分

答：鋪設(shè)水管的最小費用為萬元，相應(yīng)的角．         16分

考點：函數(shù)模型的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值、三角函數(shù)綜合.