Question

20．設y=f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數，且滿足f（xy）=f（x）+f（y），f（$\frac{1}{3}$）=1．
（1）求f（1），f（$\frac{1}{9}$），f（9）的值；
（2）若f（x）-f（2-x）＜2，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法即可求f（1），f（$\frac{1}{9}$），f（9）的值；
（2）結合函數單調性以及抽象函數的關系將不等式進行轉化即可．

解答 解：（1）令x=y=1，則f（1）=f（1）+f（1），即f（1）=0，
令x=y=$\frac{1}{3}$，則f（$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$）=f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{3}$），
即f（$\frac{1}{9}$）=2f（$\frac{1}{3}$）=2，
令x=$\frac{1}{9}$，y=9得f（$\frac{1}{9}$×9）=f（$\frac{1}{9}$）+f（9），
即f（1）=f（$\frac{1}{9}$）+f（9），
則f（9）=f（1）-f（$\frac{1}{9}$）=0-2=-2．
（2）若f（x）-f（2-x）＜2，則f（x）＜f（2-x）+f（$\frac{1}{9}$），
即f（x）＜f（$\frac{1}{9}$（2-x）），
∵y=f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{2-x＞0}\\{x＞\frac{1}{9}（2-x）}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＜2}\\{x＞\frac{1}{5}}\end{array}\right.$，即$\frac{1}{5}$＜x＜2，
解得$\frac{1}{5}$＜x＜2，
即不等式的解集為（$\frac{1}{5}$，2）．

點評 本題主要考查抽象函數的應用，利用賦值法是解決抽象函數的基本方法，綜合考查函數的性質是應用．