Question

【題目】已知為坐標原點，拋物線，點，設直線與交于不同的兩點、.

（1）若直線軸，求直線的斜率的取值范圍；

（2）若直線不垂直于軸，且，證明：直線過定點.

Answer 1

【答案】（1）； （2）見解析.

【解析】

（1）先設點P在第一象限時，設出點P的坐標，利用斜率坐標公式，將PA的斜率表示出來，之后對式子進行變形，利用基本不等式求得其范圍，從而得到直線PA的斜率的取值范圍，同理可得點P落在第四象限時，其斜率的取值范圍，之后取并集得到結(jié)果.

（2）設出直線的方程，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理求得兩根的關系，利用兩個角的關系，得到兩條直線的斜率是互為相反數(shù)的，從而得到，代入直線方程，求得直線過的定點.

（1）當點在第一象限時，設，，

∴，同理，當點在第四象限時，∴，綜上所述

∴

（2）設直線的方程為，聯(lián)立方程，得，

，

設，，，，

∵

∴

，，

∴，∴直線恒過定點