Question

某水產(chǎn)養(yǎng)殖場(chǎng)擬造一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體水產(chǎn)養(yǎng)殖網(wǎng)箱，為了避免混養(yǎng)，箱中要安裝一些篩網(wǎng)，其平面圖如下，如果網(wǎng)箱四周網(wǎng)衣（圖中實(shí)線部分）建造單價(jià)為每米56元，篩網(wǎng)（圖中虛線部分）的建造單價(jià)為每米48元，網(wǎng)箱底面面積為160平方米，建造單價(jià)為每平方米50元，網(wǎng)衣及篩網(wǎng)的厚度忽略不計(jì).

（1）把建造網(wǎng)箱的總造價(jià)y（元）表示為網(wǎng)箱的長(zhǎng)x（米）的函數(shù)，并求出最低造價(jià)；

（2）若要求網(wǎng)箱的長(zhǎng)不超過15米，寬不超過12米，則當(dāng)網(wǎng)箱的長(zhǎng)和寬各為多少米時(shí)，可使總造價(jià)最低？（結(jié)果精確到0.01米）

 

 

Answer 1

（1），最低為13120元，（2）網(wǎng)箱長(zhǎng)為15m，寬為10.67m時(shí)，可使總造價(jià)最低

【解析】

試題分析：（1）建造網(wǎng)箱的總造價(jià)為網(wǎng)箱四周網(wǎng)衣建造總造價(jià)與篩網(wǎng)建造總造價(jià)之和. 網(wǎng)箱的長(zhǎng)x，則 網(wǎng)箱的寬為，所以.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)（2）因?yàn)榫W(wǎng)箱的長(zhǎng)不超過15米，寬不超過12米，所以（1）中等號(hào)不成立.需從單調(diào)性上考慮最值. 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720153220529688/SYS201411172015450495941276_DA/SYS201411172015450495941276_DA.008.png">，所以在上單調(diào)遞減，而時(shí)，y最小，此時(shí)寬=.

⑴網(wǎng)箱的寬為，

4分

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取

此時(shí)

網(wǎng)箱的長(zhǎng)為16m時(shí)，總造價(jià)最低為13120元 8分

⑵由題意 10分

此時(shí)，在上單調(diào)遞減，而時(shí)，y最小，此時(shí)寬=.

網(wǎng)箱長(zhǎng)為15m，寬為10.67m時(shí)，可使總造價(jià)最低 16分

考點(diǎn)：函數(shù)應(yīng)用題，利用不等式及導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值