Question

（2005•海淀區(qū)二模）如圖所示，在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，點(diǎn)D在斜邊AB上，∠BCD=α(0＜α＜

π

2

)．把△ABC沿CD折起到△B′CD的位置，使平面B′CD⊥平面ACD
（Ⅰ）求點(diǎn)Bn到平面ACD的距離（用α表示）；
（Ⅱ）當(dāng)AD⊥BnC時(shí)，求三棱錐Bn-ACD的體積；
（Ⅲ）當(dāng)α=

π

3

時(shí)，求二面角Bn-AC-D的正切值．

Answer 1

分析：（I）作BnE⊥CD于E，利用平面和平面垂直的性質(zhì)定理，證出BnE⊥平面ACD，BnE為所求．
（Ⅱ）當(dāng)AD⊥BnC時(shí)，由（Ⅰ）中所作BnE⊥CD，得出

解答：（本小題滿分16分）
解：（I）作B'E⊥CD于E…（1分）

∵平面BnCD⊥平面ACD ∴BnE⊥平面ACD ∴BnE的長(zhǎng)為點(diǎn)Bn到平面ACD的距離 ∴BnE=BnC•sinα=sinα…(4分)

（II）∵BnE⊥平面ACD

∴CE為BnC在平面ACD內(nèi)的射影 又AD⊥BnC， ∴AD⊥CD(CE)…(6分)

∴S△ACD= 1 2 • 1 2 AC•BC= 1 4 ，BnE=sin π 4 = 2 2 ∴VBn-ACD= 1 3 • 1 4 • 2 2 = 2 24 …(9分)

（文科）作EF⊥AC于F，連接BnF∵BnE⊥平面ACD，∴BnF⊥AC…（10分）∴∠BnFE為二面角Bn-AC-D的平面角…（11分）
在Rt△BnCE中，CE=BnC•cos

π

3

=

1

2

，BnE=BnC•sin

π

3

=

3

2

在Rt△CEF中，EF=CE•sin(

π

2

-

π

3

)=

1

2

•sin

π

6

=

1

4

，…（13分）

∵BnE⊥平面ACD，EF?平面ACD， ∴BnE⊥EF…(14分)

∴tan∠BnFE=

BnE

EF

=2

3

…（16分）
即二面角Bn-AC-D的正切值為2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線、平面位置關(guān)系的判斷，空間角、體積求解，考查空間想象能力、推理論證、計(jì)算、轉(zhuǎn)化能力．