Question

【題目】已知橢圓右焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)重合，以原點(diǎn)為圓心、橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線(xiàn)相切.

（1）求橢圓的方程

（2）若直線(xiàn)與y軸交點(diǎn)為P，A、B是橢圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們?cè)?/span>y軸兩側(cè)，，的平分線(xiàn)與y軸重合，則直線(xiàn)AB是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)，若不過(guò)定點(diǎn)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，定點(diǎn)為

【解析】

（1）利用橢圓與拋物線(xiàn)焦點(diǎn)重合，先求出，然后根據(jù)直線(xiàn)與圓的切線(xiàn)關(guān)系求得橢圓的短半徑即可

（2）利用，求出直線(xiàn)及其與y軸交點(diǎn)，

可設(shè)橢圓上A、B兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為：、，然后，設(shè)AB方程為：，通過(guò)直線(xiàn)與橢圓的聯(lián)立方程求出和，最后，利用的平分線(xiàn)在y軸上，得，進(jìn)而求出，然后把代入直線(xiàn)即可求得該直線(xiàn)必過(guò)的定點(diǎn)

（1）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，所以

∵直線(xiàn)：與圓相切，

∴，∴

∵橢圓C的方程是.

（2），直線(xiàn)與y軸交點(diǎn)

設(shè)橢圓上A、B兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為：、.

AB方程為：，

由

得：，，

得：，

同理

又的平分線(xiàn)在y軸上

∵，∴，，

直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).