Question

19．已知數列{a_n}各項均為正數，S_n為該數列的前項和，${a_1}=1，2{S_n}={a_n}•{a_{n+1}}（{N∈{n^*}}）$，滿足不等式${log_2}（{1+\frac{1}{a_1}}）+{log_2}（{1+\frac{1}{a_2}}）+{log_2}（{1+\frac{1}{a_n}}）＞5$的正整數n的最小值為32．

Answer 1

分析 利用數列遞推關系與等差數列的通項公式可得a_n，利用“累乘求積”與對數的運算性質即可得出．

解答 解：∵${a_1}=1，2{S_n}={a_n}•{a_{n+1}}（{N∈{n^*}}）$，∴2×1=1×a₂，解得a₂=2．
n≥2時，2a_n=2（S_n-S_n-1）=a_n（a_n+1-a_n-1），a_n＞0，化為：a_n+1-a_n-1=2．
∴數列{a_n}的奇數項與偶數項分別成等差數列，公差為2．
∴a_2k-1=1+2（k-1）=2k-1，a_2k=2+2（k-1）=2k，k∈N^*．
∴a_n=n．
∴$（1+\frac{1}{{a}_{1}}）$$•（1+\frac{1}{{a}_{2}}）$•…$•（1+\frac{1}{{a}_{nz}}）$=$\frac{2}{1}×\frac{3}{2}×$…×$\frac{n+1}{n}$=n+1．
∴不等式${log_2}（{1+\frac{1}{a_1}}）+{log_2}（{1+\frac{1}{a_2}}）+{log_2}（{1+\frac{1}{a_n}}）＞5$化為：log₂（n+1）＞5，解得n+1＞2⁵，
因此滿足不等式${log_2}（{1+\frac{1}{a_1}}）+{log_2}（{1+\frac{1}{a_2}}）+{log_2}（{1+\frac{1}{a_n}}）＞5$的正整數n的最小值為32．
故答案為：32．

點評 本題考查了數列遞推關系與等差數列的通項公式、“累乘求積”與對數的運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．