Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線⊥x軸與點(diǎn)C， ，,動點(diǎn)到直線的距離是它到點(diǎn)D的距離的2倍。

（I）求點(diǎn)的軌跡方程

（II）設(shè)點(diǎn)K為點(diǎn)的軌跡與x軸正半軸的交點(diǎn),直線交點(diǎn)的軌跡于兩點(diǎn)（與點(diǎn)K不重合）,且滿足.動點(diǎn)滿足,求直線的斜率的取值范圍.

Answer 1

解： （I）依題意知,點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)、直線為其相應(yīng)準(zhǔn)線,離心率為的橢圓。設(shè)橢圓的長軸長為2a,短軸長為2b,焦距為2c,

又，，∴點(diǎn)在x軸上,且,則3

解之得：,.  

∴坐標(biāo)原點(diǎn)為橢圓的對稱中心.

∴動點(diǎn)M的軌跡方程為：.  

（II）設(shè),設(shè)直線的方程為,代入得

.     

,.

  

,,

,

.

解得: (舍).    

設(shè),由知,.

直線的斜率為. 

當(dāng)時,;

當(dāng)時,,

時取“=”）或時取“=”），

     

綜上所述