Question

15．已知向量$\overrightarrow a$=（1，2），$\overrightarrow b$=（-2，x）．
（1）當(dāng)$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$時(shí)，求x的值；
（2）當(dāng)向量$\overrightarrow{a}$與（4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）的夾角是銳角，求|$\overrightarrow$|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-2+2x=0解方程可得x的；
（2）當(dāng)向量$\overrightarrow{a}$與（4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）的夾角是銳角時(shí)，$\overrightarrow{a}$•（4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）＞0，解關(guān)于x的不等式排除同向可得x的范圍，由模長公式和二次函數(shù)的最值可得．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a$=（1，2），$\overrightarrow b$=（-2，x），
當(dāng)$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$時(shí)，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-2+2x=0，
解方程可得x的值為1；
（2）4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（2，8+x），
當(dāng)向量$\overrightarrow{a}$與（4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）的夾角是銳角時(shí)，$\overrightarrow{a}$•（4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）＞0，
∴2+16+2x＞0，解得x＞-9，
當(dāng)$\overrightarrow{a}$與（4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）共線時(shí)，1×（8+x）=2×2，解得x=-4，
此時(shí)4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（2，4），與向量$\overrightarrow a$=（1，2）同向，
滿足$\overrightarrow{a}$•（4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）＞0但向量夾角不是銳角，應(yīng)舍去，
∴x的取值范圍為x＞-9且x≠-4，
∴|$\overrightarrow$|=$\sqrt{（-2）^{2}+{x}^{2}}$∈[2，+∞）

點(diǎn)評 本題考查平面向量的夾角，涉及向量垂直和模長公式以及二次函數(shù)的最值，屬中檔題．