Question

已知動圓C過定點M(0,2)，且在x軸上截得弦長為4.設該動圓圓心的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)設點A為直線l：x－y－2＝0上任意一點，過A作曲線C的切線，切點分別為P，Q，求△APQ面積的最小值及此時點A的坐標．

Answer 1

解：(1)設動圓圓心坐標為C(x，y)，根據題意，得

化簡得x²＝4y.

故曲線C的方程為x²＝4y.

(2)設直線PQ的方程為y＝kx＋b，

由消去y，得x²－4kx－4b＝0.

設P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，

則且Δ＝16k²＋16b.

以點P為切點的切線的斜率為x₁，其切線方程為y－y₁＝x₁(x－x₁)，

即y＝x₁x－x，

同理過點Q的切線的方程為y＝x₂x－x.

設兩條切線的交點A(x_A，y_A)，

∵x₁≠x₂，解得

即A(2k，－b)，

則2k＋b－2＝0，即b＝2－2k，代入Δ＝16k²＋16b＝16k²＋32－32k＝16(k－1)²＋16>0，

∴|PQ|＝|x₁－x₂|

＝

又A(2k，－b)到直線PQ的距離為d＝，

∴S_△APQ＝|PQ|·d＝4|k²＋b|·＝4(k²＋b) ＝4(k²－2k＋2) ＝4[(k－1)²＋1] ，

∴當k＝1時，S_△APQ最小，其最小值為4，此時點A的坐標為(2,0)．