Question

已知函數(shù) .

（Ⅰ）若，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若且對(duì)任意恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，求證：.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）在單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減  4分

（Ⅱ）.

（Ⅲ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ），令，解得

當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減  4分

（Ⅱ）為偶函數(shù)，恒成立等價(jià)于對(duì)恒成立

解法1:當(dāng)時(shí)，，令，解得

（1）當(dāng)，即時(shí)，在減，在增

，解得，

（2）當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

，符合，

綜上，.                  9分 

解法2: 等價(jià)于對(duì)恒成立,

設(shè)則. 當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ;

時(shí),  

 

（Ⅲ）

.   14分

考點(diǎn)：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，證明不等式恒。

點(diǎn)評(píng)：難題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問題，在某區(qū)間，導(dǎo)數(shù)值非負(fù)，函數(shù)為增函數(shù)，導(dǎo)數(shù)值非正，函數(shù)為減函數(shù)。不等式證明問題，往往通過構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化成了研究函數(shù)的最值，使問題得解。本題涉及不等式恒成立問題，通過研究函數(shù)的最值，解決了問題。