Question

數(shù)列｛a_n｝的前n項(xiàng)和記為S_n,已知a₁=1,a_n+1=S_n(n=1,2,3,…).證明：

（1）數(shù)列{}是等比數(shù)列；

（2）S_n+1=4a_n.

Answer 1

證明:(1)∵a_n+1=S_n+1－S_n,a_n+1=S_n,

∴(n+2)S_n=n(S_n+1－S_n).

整理得nS_n+1=2(n+1)S_n,

∴=2·.

故{}是以2為公比的等比數(shù)列.

（2）由已知得a_n=S_n－1 (n≥2),又由（1）知=4·(n≥2).

于是S_n+1=4(n+1)·=4a_n(n≥2).

又a₂=3S₁=3,故S₂=a₁+a₂=4.

因此對(duì)于任意正整數(shù)n≥1，都有S_n+1=4a_n.

點(diǎn)評(píng):本例考查了靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力,分析問(wèn)題及推理的能力.(1)將已知遞推關(guān)系式中的a_n+1用S_n+1－S_n表示,將其化為只含有和的關(guān)系式求解.(2)把(1)和已知結(jié)合通過(guò)構(gòu)造法得證.