Question

20．在直角坐標系中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為ρ²-4ρcosθ+1=0，直線l的參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數），點A的極坐標為（2$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$），設直線l與曲線C相交于P，Q兩點．
（Ⅰ） 寫出曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；
（Ⅱ） 求|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 利用極坐標與直角坐標互化直接寫出曲線C的直角坐標方程，消去參數即可得到直線l的普通方程；
（Ⅱ） 點A的直角坐標為（3，$\sqrt{3}$），設點P，Q對應的參數分別為t₁，t₂，點P，Q的極坐標分別為（${ρ}_{1}，\frac{π}{6}$），（${ρ}_{2}，\frac{π}{6}$）．將$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）與（x-2）²+y²=3聯立，得：t₁t₂=1，|AP||AQ|=1，轉化求解|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．

解答 解：（Ⅰ）曲線C的直角坐標方程為：x²+y²-4x+1=0，即
（x-2）²+y²=3…（2分）
直線l的普通方程為x-$\sqrt{3}$y=0                     …（4分）
（Ⅱ）點A的直角坐標為（3，$\sqrt{3}$），設點P，Q對應的參數分別為t₁，t₂，點P，Q的極坐標分別為（${ρ}_{1}，\frac{π}{6}$），（${ρ}_{2}，\frac{π}{6}$）．
將$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）與（x-2）²+y²=3聯立得：t²+2$\sqrt{3}$t+1=0，
由韋達定理得：t₁t₂=1，|AP||AQ|=1                 …（6分）
將直線的極坐標方程θ=$\frac{π}{6}$（ρ∈R）與圓的極坐標方程ρ²-4ρcosθ+1=0聯立得：
${ρ}^{2}-2\sqrt{3}ρ+1=0$，由韋達定理得：ρ₁ρ₂=1，即|OP||OQ|=1 …（8分）
所以，|AP||AQ||OP||OQ|=t₁t₂|ρ₁ρ₂|=1．…（10分）

點評 本題考查極坐標與參數方程與直角坐標方程的互化，考查轉化思想以及計算能力．