Question

下列四個命題：
①若0＞a＞b，則

1

a

＜

1

b

；
②x＞0，x+

1

x-1

的最小值為3；
③橢圓

x2

4

+

y2

3

=1比橢圓

x2

4

+

y2

2

=1更接近于圓；
④設(shè)A，B為平面內(nèi)兩個定點(diǎn)，若有|PA|+|PB|=2，則動點(diǎn)P的軌跡是橢圓；
其中真命題的序號為

①②③

．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析：由不等式的基本性質(zhì)，可證出①是真命題；由基本不等式求最值，可得當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)x+

1

x-1

最小值為3，得②是真命題；由兩個橢圓離心率大小比較，可得③是真命題；由橢圓的定義可得④的軌跡不一定是橢圓，得到④是假命題．

解答：解：對于①，因?yàn)閎＜a＜0，兩邊都除以ab，得

1

a

＜

1

b

＜0
所以①是真命題；
對于②，因?yàn)閤＞0，x+

1

x-1

=（x-1）+

1

x-1

+1≥2

(x-1)• 1 x-1

+1=3
當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，x+

1

x-1

的最小值為3，所以②是真命題；
對于③，因?yàn)闄E圓

x2

4

+

y2

3

=1的離心率e₁=

1

2

橢圓

x2

4

+

y2

2

=1的離心率e₂=

2

2

，且

1

2

＜

2

2

，
所以橢圓

x2

4

+

y2

3

=1比橢圓

x2

4

+

y2

2

=1更接近于圓，③是真命題；
對于④，|PA|+|PB|=2，在|AB|＜2的情況下，P的軌跡才是橢圓
題設(shè)中沒有|AB|＜2，故④是假命題
故答案為：①②③

點(diǎn)評：本題以命題真假的判斷為載體，考查了不等式的基本性質(zhì)、基本不等式求最值、橢圓的定義與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．