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已知空間四邊形ABCD.

(1)求證：對(duì)角線AC與BD是異面直線;

(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分別這四條邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),試判斷四邊形EFGH的形狀;

(3)若AB＝BC＝CD＝DA,作出異面直線AC與BD的公垂線段.

證明：(1)（反證法）假設(shè)AC與BD不是異面直線，則AC與BD共面，

所以A、B、C、D四點(diǎn)共面

這與空間四邊形ABCD的定義矛盾

所以對(duì)角線AC與BD是異面直線

 (2)解：∵E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),∴EF//AC,且EF=AC.

同理HG//AC,且HG=AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四邊形.

又∵F,G分別為BC,CD的中點(diǎn),∴FG//BD,∴∠EFG是異面直線AC與BD所成的角.

∵AC⊥BD,∴∠EFG=90o.∴EFGH是矩形.

(3)作法取BD中點(diǎn)E,AC中點(diǎn)F,連EF,則EF即為所求.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知空間四邊形ABCD中，BC=AC，AD=BD，E是AB的中點(diǎn)．
求證：
（1）AB⊥平面CDE；
（2）平面CDE⊥平面ABC；
（3）若G為△ADC的重心，試在線段AE上確定一點(diǎn)F，使得GF∥平面CDE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知空間四邊形ABCD中，BC=AC，AD=BD，E是AB的中點(diǎn)．
求證：（1）AB⊥平面CDE；
（2）平面CDE⊥平面ABC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知空間四邊形ABCD中，BC=AC，AD=BD，E是AB的中點(diǎn)，求證：
（1）AB⊥平面CDE；
（2）平面CDE⊥平面ABC；
（3）若G為△ADC的重心，試在線段AE上確定一點(diǎn)F，使得GF∥平面CDE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年河南省高三12月月考文科數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

(本小題滿分12分)

如圖，已知空間四邊形ABCD中，BC=AC, AD=BD,E是AB的中點(diǎn)，

求證：

AB⊥平面CDE；

平面CDE⊥平面ABC;

若G為△ADC的重心，試在線段AB上確定一點(diǎn)F，使得GF∥平面CDE.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知空間四邊形ABCD中，BC=AC，AD=BD，E是AB的中點(diǎn)．
求證：
（1）AB⊥平面CDE；
（2）平面CDE⊥平面ABC；
（3）若G為△ADC的重心，試在線段AE上確定一點(diǎn)F，使得GF∥平面CDE．
精英家教網(wǎng)

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