Question

2．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2且n∈N^*）．
（Ⅰ）求證數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，求S_n；
（Ⅲ）設b_n=$\frac{{S}_{n}-3}{{3}^{n}}$，試求數(shù)列{b_n}的最大項．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據等差數(shù)列的定義，判斷數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是等差數(shù)列，并寫出它的通項公式以及{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）根據數(shù)列{a_n}的前n項和定義，利用錯位相減法求出S_n；
（Ⅲ）根據{b_n}的通項公式，求出最大項對應的項數(shù)n，即可求出{b_n}的最大項．

解答 解：（Ⅰ）由a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2且n∈N^*）．
得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$+1，
即{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是首項為$\frac{1}{2}$，公差d=1的等差數(shù)列，
則$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$+（n-1）=n-$\frac{1}{2}$，
數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=（2n-1）•2^n-1；
（Ⅱ）設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，求S_n；
∵a_n=（2n-1）•2^n-1；
∴S_n=1•2⁰+3•2¹+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1；
2S_n=1•2¹+3•2²+…+（2n-1）•2ⁿ；
兩式相減得-S_n=1+2（2¹+2²+…+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ
=1+$\frac{{2}^{2}（1-{2}^{n+1}）}{1-2}$-（2n-1）•2ⁿ
=-3+（3-2n）•2ⁿ，
∴S_n=（2n-3）•2ⁿ+3；
（Ⅲ）∵b_n=$\frac{{S}_{n}-3}{{3}^{n}}$，∴b_n═（2n-3）•（$\frac{2}{3}$）ⁿ，
由$\left\{\begin{array}{l}{_{n}{≥b}_{n+1}}\\{_{n}{≥b}_{n-1}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{（2n-3）{•（\frac{2}{3}）}^{n}≥（2n-1）{•（\frac{2}{3}）}^{n+1}}\\{（2n-3）•（\frac{2}{3}）{•（\frac{2}{3}）}^{n}≥（2n-5）{•（\frac{2}{3}）}^{n-1}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{7}{2}$≤n≤$\frac{9}{2}$，即n=4，
即數(shù)列{b_n}的最大項為b_n=$\frac{80}{81}$．

點評 本題考查了等差與等比數(shù)列的定義、通項公式與前n項和公式的應用問題，也考查了錯位相減法求數(shù)列的個項和的問題，考查了不等式的解法與應用問題，是綜合性題目．