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精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學 > 題目詳情

【題目】如圖，某隧道的剖面圖是由半圓及矩形組成，交通部門擬在隧道頂部安裝通風設備（視作點），為了固定該設備，計劃除從隧道最高點處使用鋼管垂直向下吊裝以外，再在兩側自兩點分別使用鋼管支撐.已知道路寬，設備要求安裝在半圓內部，所使用的鋼管總長度為.

（1）①設，將表示為關于的函數(shù)；

②設，將表示為關于的函數(shù)；

（2）請選用（1）中的一個函數(shù)關系式，說明如何設計，所用的鋼管材料最省？

【答案】（1）①；②（2）見解析

【解析】

（1）延長交于點，利用解直角三角形可得且.

（2）選�、谥械暮瘮�(shù)關系式，利用導數(shù)可求其最小值.

（1）延長交于點，則，且為的中點，

所以，由對稱性可知，.

①若，則，，

在中，，

所以，

②若，則，

在中，，，

所以，

所以.

（2）選取②中的函數(shù)關系式，，

記，

則由及可得，，

當時，此時單調遞減，

當時，此時單調遞增，

所以當時，取得最小值，

從而鋼管總長度為取得最小值，即所用的鋼管材料最省.

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A. 種 B. 種 C. 種 D. 種

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