Question

10．若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lg（|x|-1），|x|＞1}\\{asin（\frac{π}{2}x），|x|≤1}\end{array}\right.$．關(guān)于x的方程f²（x）-（a+1）f（x）+a=0，給出下列結(jié)論，其中正確的有①②③（填出所有正確結(jié)論的序號）
①存在這樣的實數(shù)a，使得方程有3個不同的實根；
②不存在這樣的實數(shù)a，使得方程有4個不同的實根；
③存在這樣的實數(shù)a，使得方程有5個不同的實根；
④不存在這樣的實數(shù)a，使得方程有6個不同的實根．

Answer 1

分析 由f²（x）-（a+1）f（x）+a=0可解得f（x）=1或f（x）=a，作函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{lg（{|x|-1}），|x|＞1}\\{asin（{\frac{π}{2}x}），|x|≤1}\end{array}}\right.$的圖象，從而討論求解．

解答 解：∵f²（x）-（a+1）f（x）+a=0，
∴f（x）=1或f（x）=a，
作函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{lg（{|x|-1}），|x|＞1}\\{asin（{\frac{π}{2}x}），|x|≤1}\end{array}}\right.$的圖象如下，
，
當a=1時，方程有3個不同的實根，故①正確；
當a＞1或a≤-1時，方程有6個不同的實根，故④不正確；
當-1＜a＜1時，方程有5個不同的實根，故③正確；
綜上可知，
不存在這樣的實數(shù)a，使得方程由4個不同的實根；故②正確；
故答案為：①②③

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應用，利用分段函數(shù)作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．