Question

20．設命題p：實數(shù)x滿足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，命題q：實數(shù)x滿足$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-x-6≤0\\|{x+1}|＞3.\end{array}\right.$
（1）若a=1，p且q為真，求實數(shù)x的取值范圍；
（2）若q是p的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分別求出關于p，q的不等式的解集，取交集即可；（2）結(jié)合集合的包含關系得到關于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）∵命題p：實數(shù)x滿足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，
∴由x²-4ax+3a²＜0，得（x-3a）（x-a）＜0，
又a＞0，所以a＜x＜3a，當a=1時，1＜x＜3，
∴p為真命題時，實數(shù)x的取值范圍：1＜x＜3，
又∵命題q：實數(shù)x滿足$\left\{\begin{array}{l}x2-x-6≤0\\|x+1|＞3\end{array}$
由$\left\{\begin{array}{l}x2-x-6≤0\\|x+1|＞3\end{array}$解得$\left\{\begin{array}{l}-2≤x≤3\\ x＜-4或x＞2\end{array}$，
∴所以q為真時，實數(shù)x的取值范圍：2＜x≤3，
∵若p且q為真，
∴p真q真，則$\left\{\begin{array}{l}1＜x＜3\\ 2＜x≤3\end{array}$
∴2＜x＜3，
∴實數(shù)x的取值范圍是（2，3）．
（2）由（1）得：
p：a＜x＜3a，q：2＜x≤3，
若q是p的充分不必要條件，
則$\left\{\begin{array}{l}{2≥a}\\{3＜3a}\end{array}\right.$，解得：1＜a≤2；
故a∈（1，2]．

點評 本題考查了充分必要條件，考查解不等式問題以及集合的運算，是一道中檔題．