Question

如圖，在底面 是菱形的四棱錐P—ABCD中，∠ABC=60⁰，PA=AC=a,PB=PD=,點(diǎn)E是PD的中點(diǎn).

（I）證明PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；

（II）求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角的正切值.

 

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）證法一  因?yàn)榈酌?/span>ABCD是菱形，∠ABC=60°， 所以AB=AD=AC=a，  在△PAB中， 由PA2+AB2=2a2=PB2   知PA⊥AB. 同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD. 因?yàn)?/span> 　　　　 所以  、、共面. 又PB平面EAC，所以PB//平面EAC. 證法二  同證法一得PA⊥平面ABCD. 連結(jié)BD，設(shè)BDAC=O，則O為BD的中點(diǎn). 連結(jié)OE，因?yàn)?/span>E是PD的中點(diǎn)，所以PB//OE. 又PB平面EAC，OE平面EAC，故PB//平面EAC. （Ⅱ）解  作EG//PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD. 知EG⊥平面ABCD. 作GH⊥AC于H，連結(jié)EH，則EH⊥AC，∠EHG即為二面角的平面角. 又E是PD的中點(diǎn)，從而G是AD的中點(diǎn)， 所以