Question

13．已知函數f（x）=xlnx+x²-3x-$\frac{x}{e^x}$（x＞0）（e為自然對數的底數）
（Ⅰ）求f（x）的極值；
（Ⅱ）求證：e^x≥x+1；
（Ⅲ）求證f'（x）在（0，+∞）上為單調遞增函數．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，判斷函數的單調性，然后求解函數的極值．
（Ⅱ）構造函數h（x）=e^x-x-1，利用導數求解函數的最值，即可證明e^x≥x+1，
（Ⅲ）設$g（x）=f'（x）=lnx+2（x-1）+\frac{x-1}{e^x}$，求出導數，轉化證明$\frac{1}{x}+2+\frac{2-x}{e^x}≥0$在（0，+∞）上恒成立，利用分析法證明f'（x）在（0，+∞）上為單調遞增函數．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=lnx+2（x-1）+\frac{x-1}{e^x}$，
可得x＞1時，f'（x）＞0，f（x）為增函數，
0＜x＜1時，f'（x）＜0，f（x）為減函數，
所以f（x）存在極小值為$f（1）=-2-\frac{1}{e}$；
（Ⅱ）證明：h（x）=e^x-x-1，所以h'（x）=e^x-1，
當x≥0時，h'（x）≥0，h（x）為增函數，
當x＜0時，h'（x）＜0，h（x）為減函數，
所以h（x）≥h（0）=0，所以e^x≥x+1，
（Ⅲ）證明：設$g（x）=f'（x）=lnx+2（x-1）+\frac{x-1}{e^x}$，
則$g'（x）=\frac{1}{x}+2+\frac{2-x}{e^x}$，欲證f'（x）在（0，+∞）上為單調遞增函數，
只需證明$\frac{1}{x}+2+\frac{2-x}{e^x}≥0$在（0，+∞）上恒成立，顯然x∈（0，2]符合題意，
當x＞2時，只需證明${e^x}≥\frac{{{x^2}-2x}}{2x+1}$．
因為（x+1）（2x+1）-（x²-2x）=x²+5x+1在x＞2時大于零，
所以${e^x}≥x+1＞\frac{{{x^2}-2x}}{2x+1}$，所以原式得證，
所以f'（x）在（0，+∞）上為單調遞增函數．

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，考查轉化思想以及計算能力，構造法的應用，函數的最值的求法，難度比較大，