Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓（）的左焦點(diǎn)為，離心率為，過點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn)、．

①求證：；

②求面積的最大值．

Answer 1

【答案】(1) (2) ①見解析②面積的最大值是

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意得，，又，即可得方程；

（2）①當(dāng)時(shí)，顯然，滿足題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)，，直線方程為，代入橢圓方程，整理得，由，結(jié)合韋達(dá)定理即可得解；

②由結(jié)合韋達(dá)定理得，利用均值不等式求最值即可.

試題解析：

（1）由題意可得，

令，可得，即有，

又，所以，．

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）①當(dāng)時(shí)，顯然，滿足題意；

當(dāng)時(shí)，設(shè)，，直線方程為，

代入橢圓方程，整理得，

則，所以．

，

則

．

則，即；

②

當(dāng)且僅當(dāng)，即．（此時(shí)適合的條件）取得等號(hào)．

則面積的最大值是．