Question

9．若集合A={x|x²+px+q=0}，B={x|qx²+px+1=0}．同時滿足條件：（1）A∩B≠∅，（2）A∩∁_RB={-2}，（p、q不為零），求p和q的值．

Answer 1

分析 條件①是說集合A、B有相同的元素，條件②是說-2∈A但-2∉B，A、B是兩個方程的解集，方程x²+px+q=0和qx²+px+1=0的根的關(guān)系的確定是該題的突破口，求p、q的值．

解答 解：設(shè)x₀∈A，則x₀≠0，否則將有q=0與題設(shè)矛盾．
于是由x₀²+px₀+q=0，兩邊同除以x₀²，得q（$\frac{1}{{x}_{0}}$）²+p（$\frac{1}{{x}_{0}}$）+1=0，
知$\frac{1}{{x}_{0}}$∈B，故集合A、B中的元素互為倒數(shù)．
由①知存在x₀∈A，
使得$\frac{1}{{x}_{0}}$∈B，且x₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
得x₀=1或x₀=-1．
由②知A={1，-2}或A={-1，-2}．
若A={1，-2}，則B={1，-$\frac{1}{2}$}，由韋達定理可得：p=1，q=-2
同理，若A={-1，-2}，則B={-1，-$\frac{1}{2}$}，由韋達定理可得p=3，q=2．
綜上，p=1，q=-2或p=3，q=2．

點評 本題考查的知識點是集合的交集，并集，補集運算，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．