Question

（本小題14分）設(shè)函數(shù).

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）已知，若函數(shù)的圖象總在直線的下方，求的取值范圍；

（Ⅲ）記為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．若，試問：在區(qū)間上是否存在（）個(gè)正數(shù)…，使得成立？請證明你的結(jié)論.

 

Answer 1

【答案】

（1）當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減

（2）（3）存在，證明見解析

【解析】

試題分析：

（Ⅰ），                   ……2分

①當(dāng)時(shí)，恒成立，故的遞增區(qū)間是；         ……3分

②當(dāng)時(shí)，令，則.

       當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

故在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減； ……6分

（Ⅱ）由上述討論，當(dāng)時(shí)，為函數(shù)的唯一極大值點(diǎn)，

所以的最大值為=.                  ……8分

由題意有，解得.

     所以的取值范圍為.                                     ……10分

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，.     記，其中.

∵當(dāng)時(shí)，，∴在上為增函數(shù)，

即在上為增函數(shù).                                    ……12分

又，所以，對(duì)任意的，總有.

所以，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012121810245540472137/SYS201212181026072953824167_DA.files/image035.png">，所以.

故在區(qū)間上不存在使得成立的（）個(gè)正數(shù)….                                ……14分

考點(diǎn)：本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想及有限與無限思想．

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于題目條件較復(fù)雜，設(shè)問較多的題目審題時(shí)，應(yīng)該細(xì)致嚴(yán)謹(jǐn)，將題目條件條目化，一一分析，細(xì)心推敲.對(duì)于設(shè)問較多的題目，一般前面的問題較簡單，問題難度階梯式上升，先由條件將前面的問題正確解答，然后將前面問題的結(jié)論作為后面問題解答的條件，注意問題之間的相互聯(lián)系，使問題化難為易，層層解決.