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已知函數(shù)f(x)=tanx，x∈(0，)，若x1，x2∈(0， )，且x1≠x2，求證：［f(x1)+f(x2)］>f()。

答案：
解析：

證法一：(分析法與綜合法并用)

∵［f(x1)+f(x2)］

=［tanx1+tanx2］=

因為x1，x2∈(0，)

所以sin(x1+x2)>0

因此只需證

cos(x1+x2)+cos(x1－x2)<1+cos(x1+x2)

即證cos(x1－x2)<1

∵x1，x2∈(0， )且x1≠x2

∴x1－x2∈(－，)且x1－x2≠0

∴cos(x1－x2)<1成立。

故原不等式成立。

證法二：(用綜合法)

∵tanx1+tanx2

∵x1，x2∈(0， )，且x1≠x2，

∴x1+x2∈(0，π)，x1－x2∈(－，)且x1－x2≠0

∴2sin(x1+x2)>0，

cosx1，cosx2>0，

且0<cos(x1－x2)<1

從而有0<cos(x1+x2)+cos(x1－x2)<1+cos(x1+x2)

由此得：tanx1+tanx2>

∴(tanx1+tanx2)>tan

即［f(x1)+f(x2)］>f()。


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1-2x1+2x
．
（1）試確定f（x）的奇偶性；
（2）求證：函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
x3+2x2+5x+tex

（1）當t=5時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若存在t∈[0，1]，使得對任意x∈[-4，m]，不等式f（x）≤x成立，求整數(shù)m的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)2+1
bx+c-b
（a，b，c∈N），且f（2）=2，f（3）＜3，
且f（x）的圖象按向量
e
=(-1，0)平移后得到的圖象關于原點對稱．
（1）求a、b、c的值；
（2）設0＜|x|＜1，0＜|t|≤1，求證不等式|t+x|-|t-x|＜|f（tx+1）|；
（3）已知x＞0，n∈N*，求證不等式[f（x+1）]n-f（xn+1）≥2n-2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•閔行區(qū)一模）已知函數(shù)f(x)=loga
1-x1+x
(0＜a＜1)．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域D，并判斷f（x）的奇偶性；
（2）如果當x∈（t，a）時，f（x）的值域是（-∞，1），求a與t的值；
（3）對任意的x1，x2∈D，是否存在x3∈D，使得f（x1）+f（x2）=f（x3），若存在，求出x3；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(t∈R)在［1,2］上的最小值為,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是函數(shù)f(x)=圖象上不同兩點,且線段P1P2的中點P的橫坐標為.

(1)求t的值;

(2)求證:點P的縱坐標是定值;

(3)若數(shù)列{an}的通項公式為an=f()(m∈N*,n=1,2,…,m),求數(shù)列{an}的前m項和Sm.

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