Question

在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和等于4,設(shè)點(diǎn)的軌跡為,直線與交于兩點(diǎn).

(1)寫出的方程;

(2)若點(diǎn)在第一象限,證明當(dāng)時(shí),恒有.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)橢圓的定義，可判斷點(diǎn)的軌跡為橢圓，再根據(jù)橢圓的基本量，容易寫出橢圓的方程，求曲線的方程一般可設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為，然后去探求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)滿足的方程，但如果根據(jù)特殊曲線的定義，先行判斷出曲線的形狀(如橢圓，圓，拋物線等)，則可直接寫出其方程；（2）一般地，涉及直線與二次曲線相交的問題，則可聯(lián)立方程組，或解出交點(diǎn)坐標(biāo)，或設(shè)而不求，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系建立關(guān)系求出參數(shù)的值(取值范圍)，本題可設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足的方程，去判斷的符號(hào).

試題解析：(1)設(shè),由橢圓定義可知,點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),長半軸為2的橢圓,它的短半軸,      2分

故曲線的方程為.     5分

(2)證明:設(shè),其坐標(biāo)滿足消去并整理,得

                       7分

故.           9分

.                                     11分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013121400114709841657/SYS201312140013379800396974_DA.files/image017.png">在第一象限,故.

由知,從而.

又，故,

即在題設(shè)條件下,恒有.                                                        13分

考點(diǎn)：橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系.