Question

如圖，某觀測站在港口A的南偏西40°方向的C處，測得一船在距觀測站31海里的B處，正沿著從港口出發(fā)的一條南偏東20°的航線上向港口A開去，當船走了20海里到達D處，此時觀測站又測得CD等于21海里，問此時船離港口A處還有多遠？

Answer 1

分析：在△BDC中，先由余弦定理可得，可求cos∠CDB，進而可求sin∠CDB，由三角形的內(nèi)角和定理可得sinα，再在△ACD中，由正弦定理求出AD的長；

解答：解：由題∠CAB=60°，設(shè)∠ACD=α，∠CDB=β，（1分）
在△CDB中，由余弦定理得cosβ=

202+212-312

2×20×21

=-

1

7

．（4分）
∴sinβ=

4 3

7

，
∴sinα=sin(β-60°)=sinβcos60°-cosβsin60°=

5 3

14

（7分）
在△ACD中，
由正弦定理得

21

sin60°

=

AD

sinα

，
∴AD=

21sinα

sin60°

=15，（11分）
即船離港口A處還有15海里．（12分）

點評：本題主要考查了正弦定理、余弦定理、兩角差的正弦公式及三角形的內(nèi)角和定理在實際中的應(yīng)用，解決實際的問題的關(guān)鍵是要把題目中所提供的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)圖形中的長度（角度），然后根據(jù)相應(yīng)的公式來解決問題．