Question

6．有一個關于x的二次函數(shù)，當x=1時取最大值4，并且它的圖象在x軸上截得的線段長為4，試求這個二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的最值和對稱性，利用待定系數(shù)法進行求解即可．

解答 解：∵關于x的二次函數(shù)，當x=1時取最大值4，
∴設f（x）=a（x-1）²+4，a＜0，
由f（x）=0得a（x-1）²+4=0，
即（x-1）²=-$\frac{4}{a}$，
則x-1=$±\sqrt{-\frac{4}{a}}$，
即x₁=1+$\sqrt{-\frac{4}{a}}$，或x₂=1-$\sqrt{-\frac{4}{a}}$，
∵在x軸上截得的線段長為4，
∴x₁-x₂=1+$\sqrt{-\frac{4}{a}}$-（1-$\sqrt{-\frac{4}{a}}$）=2$\sqrt{-\frac{4}{a}}$=4，
即$\sqrt{-\frac{4}{a}}$=2，平方得-$\frac{4}{a}$=4，
解得a=-1，
即f（x）=-（x-1）²+4．

點評 本題主要考查一元二次函數(shù)的解析式的求解，利用待定系數(shù)法是解決本題的關鍵．