Question

過直線l：y=x+9上的一點P作一個長軸最短的橢圓，使其焦點為F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0），則橢圓的方程為________．

Answer 1

．
分析：由題設條件知，直線l與橢圓切于點P，根據(jù)橢圓定義，化為在l上求一點P，使|PF₁|+|PF₂|為最小，用對稱點法求之．
解答：設直線l上的占P（t，t+9），
取F₁（-3，0）關于l的對稱點Q（-9，6），
根據(jù)橢圓定義，2a=|PF₁|+|PF₂|=|PQ|+|PF₂|，
當且僅當Q，P，F(xiàn)₂共線，即，
即時，
上述不等式取等號，∴t=-5．
∴P（-5，4），
據(jù)c=3，a=3，知a²=45，b²=36，
∴橢圓的方程為．
故答案為．
點評：本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的靈活運用．