Question

幾何體的三視圖如圖，與交于點(diǎn)，分別是直線的中點(diǎn)，

（I） 面；

（II）面；

（Ⅲ）求二面角的平面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（I）見解析；（II）見解析；（Ⅲ）。

【解析】

試題分析：由三視圖知，四邊形．均為邊長為的正方形，且

面

幾何體是直三棱柱．．．．．．．．．．．．．．．2分

（1）連接，分別為的中點(diǎn)

，面，面

面．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）法一：在中，由得

同理在中可得，在中可得

  

由是直線的中點(diǎn)得，而

 

又 

面．．．．．．．．．．．．．．．8分

法二：如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)，則

,,,,，則

設(shè)面的一個法向量為，則

取，則，面的一個法向量為

所以，面．．．．．．．．．．．．．．．8分

 

（3）如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)，則

,,,,,

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013042711155382854471/SYS201304271116424378962062_DA.files/image057.png">面，是面的一個法向量．

，

設(shè)面的一個法向量為，則

取，則，面的一個法向量為

所以二面角的平面角的余弦值為．．．．．．．．．．．．．．．13分

考點(diǎn)：三視圖；線面平行的判定定理；線面垂直的判定定理；二面角。

點(diǎn)評：判斷線面平行的常用方法：① 應(yīng)用線面平行的判斷定理，即由線線平行推線面平行；②應(yīng)用面面平行的性質(zhì)定理，即由面面平行證明線面平行；③向量法。