Question

如圖PA與圓O相切于點A，經過點O的割線PBC交圓O于點B、C，∠APC的平分線分別交AB、AC于點D、E．
（1）證明：∠ADE=∠AED；
（2）若OA=1，PC=

3

PA，求PC的長．

Answer 1

考點：與圓有關的比例線段

專題：直線與圓

分析：（1）由弦切角定理得∠BAP=∠C，從而∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE，由此能證明∠ADE=∠AED．
（2）由∠BAP=∠C，∠APC=∠BPA，得△APC∽△BPA，從而

CA

AB

=

3

，由此能求出PC=PB+BC=1+2=3．

解答： （1）證明：∵PA是切線，AB是弦，
∴∠BAP=∠C，
又∵∠APD=∠CPE，
∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE，
∵∠ADE=∠BAP+∠APD，∠AED=∠C+∠CPE，
∴∠ADE=∠AED．
（2）解：由（1）知∠BAP=∠C，
又∵∠APC=∠BPA，∴△APC∽△BPA，
∴

PC

PA

=

CA

AB

，∵PC=

3

PA，∴

CA

AB

=

3

，
∵BC是圓O的直徑，∴∠BAC=90°，
Rt△BAC中，tan∠C=

CA

AB

=

3

3

，∴∠C=30°，
∴∠ABC=60°，∠APC=30°，
∵OA=1，∴PC=PB+BC=1+2=3．

點評：本題考查兩角相等的證明，考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意弦切角定理、三角形相似、圓的性質等知識點的合理運用．